.png)
3.6 La regla de la cadena y de la potencia.
La regla de la cadena y de la potencia.
Objetivo
EL
objetivo de este blog es de brindar información útil para todo el
mundo.
REGLA DE LA CADENA
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
entonces la función compuesta
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
Ejemplo: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
Resolución:
· La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.
· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2
· Por la regla de la cadena,
h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2
Resolución:
· De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,
· Por la regla de la cadena,
Regla de la cadena para la función potencial
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m
aplicando la regla de la cadena, será:
[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).
Así,
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
Resolución:
· Si u = x2 + 1, u' = 2x
En este caso m = 3
· f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano
Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resolución:
· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
· Se aplica la regla de la cadena:
‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |
Resolución:
· u = sen x; u' = cos x
Regla de la cadena para las funciones exponenciales
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,
f'(x) = (au )' = u' · au · ln a
g'(x) = (eu )' = u' · eu
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x
Resolución:
· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x
f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4
Resolución:
Regla de la cadena para las funciones trigonométricas
Ejemplos
Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)
Resolución:
· Si u = sen x, u' = cos x
f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)
‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)
Resolución:
· u = x2 - 1; u' = 2x
· g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)
ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen3x2
Resolución:
· Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3.
· Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'
Llamando v = x2; u = sen v.
u' = v' · cos v = 2x · cos x2
· Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 =
= 6x · sen2x2 · cos x2
Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración. REGLA DE LA CADENA
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
entonces la función compuesta
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
Ejemplo: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
Resolución:
· La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.
· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2
· Por la regla de la cadena,
h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2
Resolución:
· De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,
· Por la regla de la cadena,
Regla de la cadena para la función potencial
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m
aplicando la regla de la cadena, será:
[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).
Así,
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
Resolución:
· Si u = x2 + 1, u' = 2x
En este caso m = 3
· f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano
Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resolución:
· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
· Se aplica la regla de la cadena:
‚ Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |
Resolución:
· u = sen x; u' = cos x
Regla de la cadena para las funciones exponenciales
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,
f'(x) = (au )' = u' · au · ln a
g'(x) = (eu )' = u' · eu
Ejercicio: cálculo de derivadas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x
Resolución:
· Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x
f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4
Resolución:
Regla de la cadena para las funciones trigonométricas
Ejemplos
Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)
Resolución:
· Si u = sen x, u' = cos x
f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)
‚ Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)
Resolución:
· u = x2 - 1; u' = 2x
· g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)
ƒ Calcular la derivada de h(x) = sen3x2
Resolución:
· Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3.
· Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'
Llamando v = x2; u = sen v.
u' = v' · cos v = 2x · cos x2
· Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 =
= 6x · sen2x2 · cos x2
Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.
Bibliografía: http://www.sectormatematica.cl/contenidos/cadena.htm
0 comentarios: