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5.1 Función creciente y decreciente.
Función creciente y decreciente.
Objetivo
EL
objetivo de este blog es de brindar información útil para todo el
mundo.
Definición funciones crecientes y decrecientes
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo.
.
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo,
.
.Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo,
.
Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. 
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)
2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)
Criterio de crecimiento y decrecimiento
Sea f una función continua en el intervalo cerrado ![\left [ a,b\right ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tfXv_uyGpFV5vW91FjM8vjqokKmGjww4A_e7p0li7n1yHEU8HruJ-OmlUBfXfXlqwH3bIHfsr9eKHOjKVzppaVScOe46NzrlD2jGuxIWzJMdd5Bt5h3cg6Ot6-kngSlPY-JNUD3P28VF8jSjvskxMjudiaYHHj_g=s0-d)
y derivable en el intervalo abierto 
.
y derivable en el intervalo abierto .- Si
es creciente en
- Si
es decreciente en
- Si
es constante en
Ejemplo 1
Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x2 − 4x + 1).
Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.
Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.
Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.
En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Ejemplo 2
Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.
La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)2.
Como (x − 1)2es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:
Ejemplo 3
Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x2 + (1 / x2) con x ≠ 0.
La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x3) que puede escribirse como f'(x) = [2(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)] / x3
Como 2(x2 − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 > 0 y
f'(x) < 0 </math> ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x3 < 0
Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
Luego: f'(x) > 0 si x € ( − 1,0)U(1, + ∞) por lo que la función f crece en el intervalo ( − 1,0)U(1, + ∞) .
Además: f'(x) < 0 si x € ( − ∞, − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el intervalo ( − ∞, − 1)U(0,1) .
La representación gráfica de la función es la siguiente:
Ejemplo 4
Trace la gráfica de la funcion definida por
f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1
Determine a partir de la gráfica los extremos relativos de f, los valores de x en los que ocurren los extremos relativos, los intervalos en los que f es creciente, y en los que f decrece. Confirme analíticamente la información obtenida gráficamente. Solucion La siguiente grafica muestra a f trazada en el rectángulo de inspección de [ − 3,5] por [ − 2,6]. A partir de esta gráfica, se determina que f tiene un valor máximo relativo de 5 en x = 1, y un valor mínimo relativo de 1 en x = 3. También, a partir de la gráfica se determina que f es creciente en los intervalos ( − inf,1] y [3,inf), y es decreciente en el intervalo [1,3]. 
Ahora se confirmará esta información mediante el criterio de la primera derivada calculando primero la derivada de f:
F(x) = 3x2 − 12x + 9
Los únicos números críticos son aquellos para los que F(x) = 0:
3x2 − 12x + 9 = 0
3(x − 3)(x − 1) = 0
x = 3x = 1
Por tanto, los números críticos de f son 1 y 3. Para determinar si f tiene un extremo relativo en estos números, se aplica el criterio de la primera derivada y los resultados se presentan en la tabla:
Las conclusiones de la tabla confirman la información determinada gráficamente.
Ejemplo 5
Sea
Determine los extremos relativos de f y los valores de x en donde ellos ocurren. También determine los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. A poye las respuestas gráficamente.
Solucion Al diferenciar f se tiene
Como F(x) no existe cuando x = 0 , y F(x) = 0 cuando x = − 1, entonces los números críticos de f son -1 y 0. Se aplica el criterio de la primera derivada y se resumen los resultados en la giguiente tabla:
La informacion de la tabla se apoya a trazar la gráfica de f en el recángulo de inspeccion de [ − 7.5]por[ − 5,5], como se muestra en la siguiente gráfica 
Demostración
Creciente
Supongamos que 
y sean x1 < x2 dos puntos arbitrarios del intervalo. Por el teorema del valor medio, sabemos que existe algún c tal que x1 < c < x2, y
y sean x1 < x2 dos puntos arbitrarios del intervalo. Por el teorema del valor medio, sabemos que existe algún c tal que x1 < c < x2, y-
-
f′(c)=f(x2)−f(x1)x2−x1
-
Como f'(c) > 0 y
x2 − x1 > 0, sabemos que
-
-
f(x2)−f(x1)>0
-
de donde se deduce que f(x1) < f(x2). Así pues, f es creciente en el intervalo.
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